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向你介绍我是谁
大家好，我是永嘉县少年艺术学校的李明哲，是朱乐平名师工作站“一课研究”第一大组第3小组的学员。非常高兴再次与您相遇在“一课研究”微信平台！
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本期内容有哪些
1.听一听：第十四章 数的概念的发展 之从代数原理到代数的整体组织
2.读一读：第十四章 数的概念的发展 之从代数原理到代数的整体组织
3.品一品：章勤琼博士对本章内容的解读
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什么是数的概念的发展？为什么要发展？代数的整体组织过程又是什么？用域的概念组织中学代数是否明智呢？
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第十四章 数的概念的发展
从代数原理到代数的整体组织
一、代数原理的发展
我们先来看代数的概念的发展是什么意思？为什么要发展？归纳起来有三个方面原因：第一是实际应用的需要；其次是构成一个完整的演绎体系；第三是弥补运算中的缺陷。
1.实际应用的需要
我们所说这一发展是从自然数开始的。自然数的加法和乘法运算遵循了一些法则，这些法则在较高水平上，人们将它们看作一个整体，这时就可以说，只要其中很少一部分就足够了。我们应该看到这个“足够”的意思不言而喻的，它并不是“对实际需要的足够”或“对下一次考试的足够”或“对升到高一年级的足够”。比如像
等等这样的公式，虽然一些公式有可能从更简单、更基本的法则中导出，但其中有些公式对实际应用很重要。
2.构成一个完整的演绎体系
我们知道，充分性只有在演绎基础意义上才能被人理解。代数尽管先前也有了充分性的观念，但直到现代才得以实施。像巴比仑人或埃及人的数学很不错，但未必知道它。在以演绎的观点组织算术运算法则以前，它们之间的逻辑关系一定要先被人们所熟悉，在思想实验中，我们能辨别出学习过程的大致水平：首先进行数的运算，然后注意这些运算需满足的法则，并将其公式化，根据局部联系，局部地组织这些法则，最后构成一个完整的演绎体系。
3.弥补运算中的缺陷
学习过程中可能会遇到意外，某些运算在不加限制的情况下无法进行。引进新的对象就可弥补这一点。它可以以直观的方式引入，而且是在原先的一般法则形成公式以前，甚至在还未注意到这些法则以前引入。但数域的扩充要利用理性的工具来达到，也就是说自觉或不自觉地利用 “代数原理”，这就必须承认旧数域的算术法则，因为数域必须按这个方针来扩展，即对新对象运算时，原先的法则仍成立。
比如：从自然数扩展到整数，再扩展到正有理数，进一步到有理数，模式都是相似的，负数可以直观引入，而要构造分数，则必须先承认算术运算法则。
再比如：从幂到对数
在我们来看平方和幂运算都不是新运算，人们可以将其看作一元或二元运算，认识了它们的算术运算法则，并形成了公式。但开平方在有理数域中是受限制的，因此应当扩展数域。比如：“根号2” 具有两重性，一方面它既是代数数又是实数，既是计算的数又是度量的数，作为运算对象，它的平方是2，另一反面它又可被分数或小数按任意精确程度逼近。这两方面都必不可少。学生应当熟练地用“根号2”进行运算，既把它当作其平方是2的数，又不忘记它介于数轴上两个有理数之间。而开方产生大量新的算术法则，虽很陌生，但与幂的运算法则很相像。
在对数计算中，虽然某些教学法专家原则上避开了对数及log记号，等到学生熟练掌握了对数运算技巧以后才引入。
但在学习对数之前，必须将幂指数按照代数原理扩充至负数，有理数，甚至实数。
二、组织代数的过程
在教学中又是怎么组织代数的学习的呢？作者指出了组织代数学习的过程有两种思路：一是改革者们的想法，二是目前的现状。
1.改革者们的想法
“
改革者们认为：传统的中学代数中包含了大量足够对付考试的算术运算法则，但与算术运算法则相应的演绎顺序却很少。他们认为从演绎顺序开始，选择最直接的途径到达比如域（或有序域）的公理。只要学生知道算术的四种基本运算，这些公理即可归结出来，随后，从域的公理继续演绎下去。这种做法对教师很有益处，他们不需要为一大堆传统的障碍操心了。
”
2.目前的现状
学校是不允许学生自己来整体组织教学内容的，教师以组织好的形式强加给学生，而学生则毫无机会自己去加以组织，其实教师的东西也不是他自己组织的，而是来自于教科书；教科书作者也不是他自己组织的，而是简单模仿了大学的代数课本。
然而按改革者的想法，用域的概念组织代数的做法来自大学，在大学水平上这样做有其深刻的道理，但在中学水平上又是另一回事了。如果认为将大学代数稀释到某个程度就可以转换成中学代数，那就是奇迹中的奇迹了。我们必须经过认真调查研究才能知道域的概念作为一个适当的组织原理是否应在中学阶段出现。
传统结构与域的结构有何区别？
传统的代数有七种运算：加、减、乘、除、乘方、开方、对数，这些都是二元运算（也许除了最后一个）。而域的概念中只有加和乘两种二元运算，以及取相反数和倒数两种一元运算，除此之外还有序（大于、小于）关系。今天，七种传统的运算仍具有生命力，学生至少应熟悉幂的运算法则，并知道如何由此导出开方根的法则。对数的法则可以暂时不要，但最终还是非常有用的。
把中学代数限制在域中最基本的那些运算上是否明智？如果是明智的，那么其他运算又如何处理呢？我们先来看域中加法和乘法形式之间的类比：
域K是关于加法的交换群，K{0}是关于乘法的交换群，K中的加法公理和K{0}中的乘法公理就是普通的交换群公理。群的运算可以解释为加法或乘法。如果学生以前学过了公理化群，那么这些域公理就提供了丰富的内容，而不是一个新问题。如果学生还不了解群，那么仔细观察有理数域中的加法和乘法，就可提供公理化群的模式。从发展的观点看，学生应加强加法和乘法之间的形式类比：
当然我们还能找到很多这样的类比，也就是说n个a相加为na,映射到乘法里就是n个a相乘为a的ｎ次方。那么在 （-a）+（-a）=-2a 中，我们可以类比出
这样做的目的是要给学生创造练习组织的机会，而不是给他一个现成的公式。
那是不是说明加法运算一定能映射到乘法运算呢？然而再扩充两行，类比就不一定行了。
这是正确的。
若a>1而ab>b并不成立，这里必须先假设b>0
如果非整数指数还没引入的话，则右式中的n必须为整数。
由此我们看到，只有不断扩充，才能达到运算的同构。然而，当我们涉及到幂、指数、开方的运算时，如果仅用域中的加法和乘法，要想在逻辑上保持严谨，需要的论证就更复杂了（有兴趣的详见原著第242到243页）。看来我们这么做并不明智。
虽然对中学代数内容的看法尽管存在分歧，但也有一致的意见。代数的内容太丰富了。域的概念无法来概括它。我们通常用公理化方法来综合我们的结果。其中计算尺公理以及量角器公理在数学教学中不容忽视。
它们的提出是为了补充有序域公理的不足，但以上内容主要是为教师提供信息来源，至于学生是否需要以及能否去进行中学代数的整体组织。首先应调查教学中究竟需要教怎样的公理系。作者认为，像计算尺、量角器这种直观的数学模型，应以较高的观点反复进行讨论。这样做的一个目的是要弄清它们对代数的公理组织的嵌入，另一个目的则是要了解其在数学分析中的地位在任何阶段中，它们都是对数学教学有价值的题材。
未完待续
上面这些就是今天我想与大家分享的内容，让我们再来一同回顾一下。今天主要了解了弗莱登塔尔对数的概念的发展——从代数原理到代数的整体组织的理解。如果您还想了解：弗莱登塔尔对集合和函数又有哪些见解。请您继续关注下一期的听书内容！谢谢大家！
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章勤琼博士对本章内容的解读
章勤琼，教育学博士，温州大学副教授，硕士研究生导师，南京师范大学教育科学学院博士后。
个人认为这里的发展，首先是指运算及运算在数系扩充后仍然需成立。比如，在整数中成立的基本运算（如：交换律、结合律、分配律），在分数中也要能成立。同样，在正数中需要成立的，在负数中也要成立。事实上，负负得正就是为了要满足分配律在负数中也能成立而引入的规则。那么，有了这样的前提之后，我们才能对基本运算与运算法则进行一般化、概括化的推广，比如不再单讨论2+3=3+2，而可以讨论a+b=b+a了。字母才能引入，算术到代数的过渡才有可能，数学的一般化的抽象的基本特征才能体现。
这里说的用域的概念组织代数。大体上应该是这个意思，在高等代数中，我们在讨论一个数集是否是数域的时候，是看是否对加减乘除都封闭，也就是说任意两个数，经过加减乘除后，仍然是这个数集里的数，有理数就是数域。而整数就不是数域，因为两个整数相除可能就不是整数了。而自然数则是对减也不封闭，因为如果减出负数，就不在自然数里面了。有了这样的前提之后，我们再来看中小学的数学。就可以看到，如果是在数域里，那么其实只要两种运算就可以代替所有运算，比如减是可以用加相反数来代替的，正数做不到这样，但引入了负数后就可以做到。而除是可以用乘倒数来代替的，整数做不到这样，但引入分数之后就可以。所以，用域的概念来组织代数的意思就是说，在一个数域里，其实不需要那么多的运算，只要加和乘两种运算，就可以代替其他所有的运算。当然，这个前提是要在数域里讨论，最小的数域是有理数，学生至少要在学了有理数后才能明白这个事情。举个例子，讲等式的性质，在小学阶段，就必须讲两边同时加上（或减去）相同的数，两边乘以（或除以）相同的数，等式仍然成立。但到了初中，学生已经有了完整的有理数概念后，就可以直接说，两边同时加上相同的数，两边同时乘以相同的数，等式仍然成立。（当然，事实上，浙教版初中教材还保留着或减去跟或除以，我个人认为这个做法不好）
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审核人： 梅志强
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